SOLUZIONI - Novembre 2005

 

236. Trova la somma

In generale è:

 

237. Il triangolo scaleno

11, 12, 13, 14 e 15

 

238. A resto zero

Pietro ha 49 anni.

 

239. I segmenti nel quadrato

 

240. Gli alberi in fila

81 metri, cioè 3 per 27.

 

241. Rapporto di aree

Il rapporto fra i lati dei due triangoli è 3/2, quindi il rapporto fra le aree è 9/4.

 

242. Altezze e bisettrici nel triangolo

Presentiamo due soluzioni del problema.

La prima soluzione, in Cabri, è stata proposta da Martina Vacchetti, Liceo Classico Cavour, Torino, classe I D.

Dopo aver disegnato come da richiesta, fisso O punto d’incontro delle altezze (ortocentro).
Considero la circonferenza di diametro OB (il quadrilatero OLBH può essere inscritto in questa circonferenza in quanto la somma degli angoli opposti è 180° ).

Gli angoli e risultano congruenti perché insistono sullo stesso arco OH.

Analogamente dimostro che .
perché complementari dello stesso angolo .
Per la proprietà transitiva , ciò vuol dire che l’altezza CL del triangolo ABC è bisettrice dell’angolo KLH del triangolo HKL.
Analogamente si dimostra che le altre due altezze del triangolo ABC sono bisettrici del triangolo HKL.

 

La seconda soluzione è di Federico Strà, Liceo Classico Cavour, Torino, classe V D.

Gli angoli A e B sono congruenti perchè opposti al vertice.
Il quadrilatero evidenziato in neretto è ciclico perchè ha due angoli opposti retti, dunque l'angolo C è congruente all'angolo A perchè angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco.

Allo stesso modo si ottiene che l'angolo D è uguale all'angolo B.
Ricapitolando:
A=B
C=A
D=B
quindi C=D.
Da qui si ricava che "e" è uguale a "f", perché differenza di angoli uguali. E questo equivale a dire che l'altezza che arriva in H è una bisettrice del triangolo rosso.
Questo ragionamento vale anche per le altre due altezze.