SOLUZIONI - Ottobre 2005

 

229. I giorni di riposo

Il numero di volte che le commesse hanno avuto i due giorni di riposo consecutivi è 5.

 

230. Scomposizione di un triangolo equilatero

 

231. Il peso delle palline

Pesiamo dapprima tre palline su un piatto e tre su un altro. Avremo uno dei seguenti due casi:

1) I due piatti della bilancia sono in equilibrio e quindi le sei palline hanno tutte lo stesso peso.
2) Un piatto della bilancia si abbassa rispetto all'altro.

Nel caso 1) effettuo la seconda pesata ponendo le due palline rimanenti una su ogni piatto e stabilisco di conseguenza qual è la pallina più pesante.

Nel caso 2) effettuo la seconda pesata ponendo sui piatti due palline (una per ogni piatto) a scelta tra le tre del gruppo più pesante. Anche qui posso avere due casi:

1) una delle due è la pallina più pesante, quella del piatto che si abbassa
2) Le due palline hanno lo stesso peso, dunque la più pesante è quella scartata.

 

232. Quale numero?

Ogni termine della successione è il doppio del termine che lo precede più 2.
Il termine successivo è quindi

30 x 2 + 2 = 62

 

233. Meringhe alla panna

Il pasticcere aveva preparato 60 meringhe. Infatti, se indichiamo con x il numero delle meringhe, abbiamo:

x = x/5 + 2x/5 + 8 + 2

x – x/5 – 2x/5 = 8 + 2

2x/5 = 10

x = 25

 

234. Il febbraio di cinque giovedì

Perché il giovedì compaia cinque volte nel mese di febbraio, il primo del mese dev’essere un giovedì e l’anno dev’essere bisestile. Il prossimo anno in cui febbraio avrà cinque giovedì sarà quindi il 2024.

 

235. I due numeri

Quella che segue è la soluzione riportata da Mario Livio nel suo libro.
Supponiamo che la somma sia 20 e la somma dei quadrati 208. Diofanto non indica i numeri semplicemente con x e y; egli preferisce scrivere 10 + x e 10 – x, sfruttando il fatto che la somma deve essere uguale a 20.
L’equazione che Diofanto ottiene per la somma dei quadrati è quindi:

(10 + x)2 + (10 – x)2 = 208

Ora, poiché (10 + x)2 = (10 + x)(10 + x) = 100 + 2x + x2
e (10 – x)2 = (10 – x)(10 – x) = 100 – 2x + x2

per cui l’equazione diventa (raccogliendo tutti i termini):

200 + 2 x2 = 208

Sottraendo 200 da entrambi i lati si ha 2 x2 = 8
x2 = 4 e x = 2
Concludendo, i due numeri cercati sono 12 e 8.