SOLUZIONI - Settembre 2004

 

152. I numeri sulla calcolatrice

3 749 999

 

153. Cioccolatini perfetti

Nella scatola ci sono 40 cioccolatini

 

154. Triangoli a confronto

I due triangoli sono equivalenti: 300 m2

 

155. Ciclisti in pista

La differenza tra le velocità dei due ciclisti è di 3 km/h e sappiamo che sono partiti con una distanza fra loro di 450 m. Percorrere 450 m a 3 km/h corrisponde a percorrere 7 200 m a 42 km/h, cioè 8 giri.

 

156. L’esagono numerico

Ci sono due possibili soluzioni che si differenziano soltanto per il verso di rotazione.

 

157. Vino alla dogana

Questo problema arriva dal Math Forum dello Swarthmore College.
Un barile di vino costa 120 franchi e la tassa corrispondente è di 10 franchi.
Indichiamo con x la tassa su un barile di vino e con y il suo prezzo.
Abbiamo il sistema:

64x = 5y + 40
20x = 2y – 40

da cui ricaviamo:

x = 10 e y = 120.

 

158. La fontana fra le due torri

Dal testo del problema ricaviamo che DP = CP. Dove P indica la posizione della fontana.
Indichiamo AP con x e quindi PB = AB – x = 50 – x.
I due triangoli APD e PBC sono rettangoli, quindi abbiamo:
302 + x2 = 402 + (50 – x)2
Da cui si ricava:
x = 32
AP = 32 passi e BP = 18 passi

La soluzione proposta da Fibonacci è più complicata. Vediamola.
Indichiamo con M il punto medio di AB e tracciamo il segmento MF parallelo a BC e il segmento ED perpendicolare a MF.
MF è il segmento che unisce i punti medi di un trapezio ed è quindi uguale alla semisomma delle basi:
MF = (AD + BC)/2 =
(30 + 40)/2 = 35 passi
Se le distanze percorse dai due uccelli, alla stessa velocità, sono uguali, il triangolo PCD è isoscele, sulla base CD: PD = PC. E PF è mediana, ma anche altezza. Abbiamo:

EF = MF – ME = MF – AD = 35 – 30 = 5 passi.

Il triangolo PDF è rettangolo ed è simile al triangolo PFM, infatti gli angoli corrispondenti dei due triangoli sono uguali. Abbiamo quindi la proporzione:

EF : PM = DE : MF
5 : PM = 25 : 35
PM = (5 x 35)/25 = 7

Possiamo quindi concludere che la distanza della fontana dalla torre più bassa è di 32 passi e da quella più alta di 18.